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淺談數學(xué)的開(kāi)放題
一 數學(xué)開(kāi)放題的概述
關(guān)于什么是數學(xué)開(kāi)放題，現在還沒(méi)有統一的認識，主要有如下的論述：
�。ǎ保┐鸢覆还潭ɑ蛘邨l件不完備的習題，我們稱(chēng)為開(kāi)放題；(2)開(kāi)放性題是條 件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題；(3)有多種正確答案的問(wèn)題是開(kāi)放題。這類(lèi)問(wèn)題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問(wèn)題的機會(huì )，在解題過(guò)程中，學(xué)生可以把自己的知識、技能以各種方式結合，去發(fā)現新的思想方法；(4)答案不唯一的問(wèn)題是開(kāi)放性的問(wèn)題；(5)具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問(wèn)題，稱(chēng)之為開(kāi)放性問(wèn)題；(6)問(wèn)題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余。一個(gè)問(wèn)題是開(kāi)放還是封閉常常取決于提出問(wèn)題時(shí)學(xué)生的知識水平如何。例如，對n個(gè)人兩兩握手共握多少次的問(wèn)題，在學(xué)生學(xué)習《組合》知識以前解法很多，是一個(gè)開(kāi)放題，在學(xué)習組合知識之后則是一個(gè)封閉題。
二 數學(xué)開(kāi)放題的特征
數學(xué)開(kāi)放題一般具有以下特征：
1． 所提的問(wèn)題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語(yǔ)來(lái)描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著(zhù)手解題。
2． 沒(méi)有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺(jué)地被發(fā)現，但是在求解過(guò)程中往往需要從多個(gè)角度進(jìn)行思考和探索。
3． 有些問(wèn)題的答案是不確定的，存在著(zhù)多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過(guò)程中主體的認知結構的重建。
4． 常常通過(guò)實(shí)際問(wèn)題提出，主體必須用數學(xué)語(yǔ)言將其數學(xué)化，也就是建立數學(xué)模型。
5． 在求解過(guò)程中往往可以引出新的問(wèn)題，或將問(wèn)題加以推廣，找出更一般，更有概括性的結論。
6． 能激起多數學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過(guò)程，而不管他是屬于何種程度和水平。
7． 教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生能自然地主動(dòng)參與，教師在解題過(guò)程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵者和指導者。
三 數學(xué)開(kāi)放題的分類(lèi)
1、條件開(kāi)放型
即未知的要素是條件。例如，在北師大版七年級（下）的概率教學(xué)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：（P108試一試）用10個(gè)球設計一種摸球游戲，使摸到紅球的概率為0.2？我們在不增加太大難度的情況下把它改為：例1、設計一種摸球的游戲，使摸到紅球的概率為0.2，可以怎樣放球？這就是一個(gè)非常開(kāi)放的問(wèn)題，學(xué)生都可以根據自己原有的認知水平，得到不同的方案。①在袋中放入1個(gè)紅球和4個(gè)白球。②在袋子中放入球的數量只要滿(mǎn)足紅球與白球的數量比為1：4就可以了，比如紅球與白球的個(gè)數可以分別是5和20或6和24等等。③只要滿(mǎn)足紅球與非紅球的數量之比為1：4就可以了，比如1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球；或2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，6個(gè)黑球等等。這樣的問(wèn)題設計有助于培養學(xué)生的創(chuàng )新意識，發(fā)展創(chuàng )新能力。
2、結論開(kāi)放型
即未知的要素是判斷
例如，老師給出一個(gè)條件，兩條直線(xiàn)平行，甲、乙、丙同學(xué)各指出這個(gè)條件的一個(gè)特征：
甲：被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等；
乙：被第三條直線(xiàn)所截，內錯角相等；
丙：被第三條直線(xiàn)所截，同旁?xún)冉腔パa。
3、策略開(kāi)放型
即未知的要素是推理
如：一張桌子可坐6個(gè)人，若按圖乙方式擺放，2張桌子可坐幾個(gè)人？按圖乙方式繼續擺放桌子，則n張桌子可坐幾人？
�。祝� （乙）
學(xué)生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無(wú)論增加幾張，左右兩側始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每?jì)蓮堊雷又睾系?人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問(wèn)題的設計給學(xué)生的不同見(jiàn)解留下了足夠的空間，學(xué)生可以在自己原有的知識結構中進(jìn)行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。
4、設計開(kāi)放型
例如，(課程標準華東師大版《數學(xué)》七年級（上）第13頁(yè)習題第5題)某居民小區搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現征集設計方案，要求設計的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個(gè)數不限），并且使花壇的面積約占矩形面積的二分之一左右。請畫(huà)出你設計的方案，用一兩句話(huà)表示你設計的思路。
5、舉例開(kāi)放型
請根據你生活經(jīng)驗，對代數式2a給出一個(gè)實(shí)際背景的解釋?zhuān)?。
6、實(shí)踐開(kāi)放型
例如，(課程標準華東師大版《數學(xué)》七年級（下）第118頁(yè)習題第1題)現有三個(gè)普通的正方體骰子，投擲這三個(gè)骰子，請說(shuō)出三個(gè)確定的事件和三個(gè)不確定的事件。
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