- 相關(guān)推薦
二次函數在函數解答題中的考查的問(wèn)題和策略
平時(shí)在做函數解答題時(shí)，你是否留意過(guò)�？嫉暮瘮涤心男�?你總結過(guò)以這些函數為考查主體的函數解答題的求解技巧嗎?處處留心皆學(xué)問(wèn)，時(shí)時(shí)答題要總結.如果這部分內容還是你復習的死角和盲區，那就認真看看老師們給出的錦囊妙計吧!
高考對二次函數的考查主要體現在兩個(gè)方面:一是對二次函數的圖像和性質(zhì)本身的考查，包括二次函數的單調性、最值、圖像的對稱(chēng)性等;二是對二次函數與其他知識交匯問(wèn)題的考查，包括二次函數與導數、函數零點(diǎn)、不等式等知識的交匯.
一、二次函數在給定區間上的最值問(wèn)題
例1 已知函數f(x)=-x2+2ax+1-a在區間[0，1]上的最大值為2，求a的值.
解 函數f(x)=-x2+2ax+1-a =-(x-a)2+a2-a+1，對稱(chēng)軸方程為x=a.
�、佼攁<0時(shí)，f(x)在[0，1]上遞減.∴ fmax(x)= f(0)=1-a =2.∴a =-1.
�、诋�0≤a≤1時(shí)，f(x)在[0，a)上遞增，在[a，1]上遞減.∴ fmax(x)= f(a)=a2-a+1=2.∴a = (舍去).
�、郛攁>1時(shí)，f(x)在[0，1]上遞增.∴ fmax(x)= f(1)=a.∴a =2.
綜上可知，a=-1或a=2.
小結 影響二次函數在給定區間上的最值的因素有拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸的位置以及給定的區間，同學(xué)們在求解時(shí)要注意數形結合思想的運用.如果拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸的位置或給定的區間不確定，就需要進(jìn)行分類(lèi)討論.
二、二次函數圖像的應用
例2 設函數f(x)= ，g(x)=ax2+bx(a，b∈R，a≠0).若y= f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，請證明下列結論:
當a<0時(shí)，x1+x2>0，y1+ y2<0;當a>0時(shí)，x1+x2<0，y1+ y2>0.
證明 (證法1)令 =ax2+bx，則1=ax3+bx2(x≠0).設F(x)=ax3+bx2，則F′(x)=3ax2+2bx.令F′(x)=3ax2+2bx=0，則x=- .要使y= f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，只需F(- )=a(- )3+b(- )2=1，整理得4b3=27a2，于是可取a=±2，b=3來(lái)研究.當a=2，b=3時(shí)，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2= ，此時(shí)y1=-1，y2=2，則x1+x2<0，y1+ y2>0;當a=-2，b=3時(shí)，-2x3+3x2=1，解得x1=1，x2=- ，此時(shí)y1=1，y2=-2，則x1+x2>0，y1+ y2<0.
(證法2)令f(x)= g(x)，得 =ax+b.設y′= ，y′′=ax+b，不妨設x10時(shí)，如圖1所示.此時(shí)|x1|> |x2|，即-x1>x2>0，此時(shí)x1+x2<0，y2= >- =-y1，即y1+ y2>0.同理，由圖2經(jīng)過(guò)推理可得當a<0時(shí)，x1+x2>0，y1+ y2<0.
小結 對二次函數圖像的運用，同學(xué)們應主要從兩個(gè)方面來(lái)考慮:一是定性分析，確定圖像的上升(下降)趨勢;二是定量計算，將圖像交點(diǎn)個(gè)數等問(wèn)題轉化為數量關(guān)系問(wèn)題來(lái)處理.
三、三個(gè)“二次”的交匯問(wèn)題
例3 已知函數f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)的值域為[0，+∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)< c的解集為(m，m+6)，求實(shí)數c的值.
解 由于f(x)的值域為[0，+∞)，所以f(x)的圖像與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn).于是有Δ=a2-4b=0，即b= .所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+ =(x+ )2.
由f(x)=(x+ )2 由于不等式f(x) 小結 本題利用判別式，結合圖像將二次函數的值域轉化為系數a，b的關(guān)系，再通過(guò)配方，得到一元二次不等式的解集.函數圖像和判別式是聯(lián)系二次函數、一元二次方程和一元二次不等式的紐帶，當三者之間的關(guān)系需要轉化時(shí)，要結合圖像，利用判別式來(lái)處理.
四、二次函數與導數的交匯問(wèn)題
例4 已知函數f(x)= x3+ (1-a)x2-3ax+1，a>0.
(1)證明:對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時(shí)，有-1≤ f (x)≤1.
(2)設(1)中的p的最大值為g(a)，求g(a)的最大值.
(1)證明:由于 f ′(x)=3x2+3(1-a)x-3a =3(x+1)·(x-a)，且a>0，所以f(x)在[0，a)上單調遞減，在[a，+∞)上單調遞增.
又f(0)=1，f(a)=- a3- a2+1= (1-a)(a+2)2-1，所以
當f(a)≥-1時(shí)，取p=a，此時(shí)，當x∈[0，p]時(shí)，有-1≤ f (x)≤1成立.
當f(a)<-1時(shí)，由于f(0)+1=2>0，f(a)+1<0，所以存在p∈(0，a)，使得f(p)+1=0.此時(shí)，當x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f(x)≤1成立.
綜上可知，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時(shí)，有-1≤ f(x)≤1.
(2)解:由(1)可知f(x)在[0，+∞)上的最小值為f(a).
當0a的實(shí)根，即2p2+3(1-a)p-6a=0滿(mǎn)足p>a的實(shí)根，所以g(a)= .
又g(a)在(0，1]上單調遞增，故gmax(a)=g(1)= .
當a>1時(shí)，f(a)<-1.由于f(0)=1，f (1)= (1-a)-1<-1，所以[0，p]?奐[0，1].此時(shí)，g(a)≤1.
綜上所述，g(a)的最大值為 .
小結 本題的第一問(wèn)對三次函數求導后，得到的導函數是二次函數，該二次函數的正負決定三次函數的單調性;本題的第二問(wèn)確定g(a)的解析式主要是通過(guò)求二次方程的根進(jìn)行的，而研究g(a)的性質(zhì)則主要是通過(guò)對二次函數性質(zhì)的分析進(jìn)行的.
(作者單位:山東青島市黃島區五中)
(責任編校/周峰)
想突破連接初中與高中數學(xué)橋梁的二次函數，請注冊登錄《高中生》·高考網(wǎng)——
《有關(guān)含參數的二次函數問(wèn)題的解題策略》
高中數學(xué)中的二次函數解答題含有豐富的數學(xué)思想和方法，學(xué)生在解答時(shí)很難掌握，特別是解決含有參數的二次函數問(wèn)題，學(xué)生更感到無(wú)所適從.
【二次函數在函數解答題中的考查的問(wèn)題和策略】相關(guān)文章：
構造函數與析構函數11-22
蘇教版初中數學(xué)二次函數的教學(xué)分析論文11-08
函數的零點(diǎn)03-07
函數概念的“源”與“流03-29
矩陣函數的性質(zhì)及其應用03-07
初中數學(xué)函數小論文05-14