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數學(xué)思想的教學(xué)功能的論文
初論數學(xué)思想的教學(xué)功能
中學(xué)數學(xué)教學(xué)過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是運用各種教學(xué)理論進(jìn)行數學(xué)知識教學(xué)的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，必然要涉及數學(xué)思想的問(wèn)題。因為數學(xué)思想是人類(lèi)思想文化寶庫中的瑰寶，是數學(xué)的精髓，它對數學(xué)教育具有決定性的指導意義。本文對這個(gè)概念的意義及在教學(xué)中的作用作一探討。希望能再引起廣大數學(xué)教育工作者的關(guān)注。
一、對中學(xué)數學(xué)思想的基本認識
“數學(xué)思想”作為數學(xué)課程論的一個(gè)重要概念，我們完全有必要對它的內涵與外延形成較為明確的認識。關(guān)于這個(gè)概念的內涵，我們認為：數學(xué)思想是人們對數學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規律的理性認識。這種認識的主體是人類(lèi)歷史上過(guò)去、現在以及將來(lái)有名與無(wú)名的數學(xué)家；而認識的客體，則包括數學(xué)科學(xué)的對象及其特性，研究途徑與方法的特點(diǎn)，研究成就的精神文化價(jià)值及對物質(zhì)世界的實(shí)際作用，內部各種成果或結論之間的互相關(guān)聯(lián)和相互支持的關(guān)系等�？梢�(jiàn)，這些思想是歷代與當代數學(xué)家研究成果的結晶，它們蘊涵于數學(xué)材料之中，有著(zhù)豐富的內容。 通常認為數學(xué)思想包括方程思想、函數思想、數形結合思想、轉化思想、分類(lèi)討論思想和公理化思想等。這些都是對數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗通過(guò)概括而獲得的認識成果。既然是認識就會(huì )有不同的見(jiàn)解，不同的看法。實(shí)際上也確實(shí)如此，例如，有人認為中學(xué)數學(xué)教材可以用集合思想作主線(xiàn)來(lái)編寫(xiě)，有人認為以函數思想貫穿中學(xué)數學(xué)內容更有利于提高數學(xué)教學(xué)效果，還有人認為中學(xué)數學(xué)內容應運用數學(xué)結構思想來(lái)處理等等。盡管看法各異，但筆者認為，只要是在充分分析、歸納概括數學(xué)材料的基礎上來(lái)論述數學(xué)思想，那么所得的結論總是可能做到并行不悖、互為補充的，總是能在中學(xué)數學(xué)教材中起到積極的促進(jìn)作用的。
關(guān)于這個(gè)概念的外延，從量的方面講有宏觀(guān)、中觀(guān)和微觀(guān)之分。 屬于宏觀(guān)的，有數學(xué)觀(guān)(數學(xué)的起源與發(fā)展、數學(xué)的本能和特征、數學(xué)與現實(shí)世界的關(guān)系)，數學(xué)在科學(xué)中的文化地位，數學(xué)方法的認識論、方法論價(jià)值等；屬于中觀(guān)的，有關(guān)于數學(xué)內部各個(gè)部門(mén)之間的分流的原因與結果，各個(gè)分支發(fā)展過(guò)程中積淀下來(lái)的內容上的對立與統一的相克相生的關(guān)系等；屬于微觀(guān)結構的，則包含著(zhù)對各個(gè)分支及各種體系結構中特定內容和方法的認識，包括對所創(chuàng )立的新概念、新模型、新方法和新理論的認識。 從質(zhì)的方面說(shuō)，還可分成表層認識與深層認識、片面認識與完全認識、局部認識與全面認識、孤立認識與整體認識、靜態(tài)認識與動(dòng)態(tài)認識、唯心認識與唯物認識、謬誤認識和正確認識等。
二、數學(xué)思想的特性和作用
數學(xué)思想是在數學(xué)的發(fā)展史上形成和發(fā)展的，它是人類(lèi)對數學(xué)及其研究對象，對數學(xué)知識（主要指概念、定理、法則和范例)以及數學(xué)方法的本質(zhì)性的認識。它表現在對數學(xué)對象的開(kāi)拓之中，表現在對數學(xué)概念、命題和數學(xué)模型的分析與概括之中，還表現在新的數學(xué)方法的產(chǎn)生過(guò)程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)數學(xué)思想凝聚成數學(xué)概念和命題，原則和方法
我們知道，不同層次的思想，凝聚成不同層次的數學(xué)模型和數學(xué)結構，從而構成數學(xué)的知識系統與結構。在這個(gè)系統與結構中，數學(xué)思想起著(zhù)統帥的作用。
(二)數學(xué)思想深刻而概括，富有哲理性
各種各樣的具體的數學(xué)思想，是從眾多的具體的個(gè)性中抽取出來(lái)且對個(gè)性具有普遍指導意義的共性。它比某個(gè)具體的數學(xué)問(wèn)題(定理法則等)更具有一般性，其概括程度相對較高�，F實(shí)生活中普遍存在的運動(dòng)和變化、相輔相成、對立統一等“事實(shí)”，都可作為數學(xué)思想進(jìn)行哲學(xué)概括的材料，這樣的概括能促使人們形成科學(xué)的世界觀(guān)和方法論。
(三)數學(xué)思想富有創(chuàng )造性
借助于分析與歸納、類(lèi)比與聯(lián)想、猜想與驗證等手段，可以使本來(lái)較抽象的結構獲得相對直觀(guān)的形象的解釋?zhuān)苁挂恍┛此茻o(wú)處著(zhù)手的問(wèn)題轉化成極具規律的數學(xué)模型。從而將一種關(guān)系結構變成或映射成另一種關(guān)系結構，又可反演回來(lái)，于是復雜問(wèn)題被簡(jiǎn)單化了，不能解的問(wèn)題的解找到了。如將著(zhù)名的哥尼斯堡七橋問(wèn)題轉化成一筆畫(huà)問(wèn)題，便是典型的一例。當時(shí)，數學(xué)家們在作這些探討時(shí)是很難的，是零零碎碎的，有時(shí)為了一個(gè)模型的建立，一種思想的概括，要付出畢生精力才能得到，這使后人能從中得到真知灼見(jiàn)，體會(huì )到創(chuàng )造的艱辛，發(fā)展頑強奮戰的個(gè)性，培養創(chuàng )造的精神。
三、數學(xué)思想的教學(xué)功能
我國《九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》明確指出：“初中數學(xué)的基礎知識主要是初中代數、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來(lái)的.數學(xué)思想和方法”。根據這一要求，在中學(xué)數學(xué)教學(xué)中必須大力加強對數學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究。
(一)數學(xué)思想是教材體系的靈魂
從教材的構成體系來(lái)看，整個(gè)初中數學(xué)教材所涉及的數學(xué)知識點(diǎn)匯成了數學(xué)結構系統的兩條“河流”。一條是由具體的知識點(diǎn)構成的易于被發(fā)現的“明河流”，它是構成數學(xué)教材的“骨架”；另一條是由數學(xué)思想方法構成的具有潛在價(jià)值的“暗河流”，它是構成數學(xué)教材的“血脈”靈魂。有了這樣的數學(xué)思想作靈魂，各種具體的數學(xué)知識點(diǎn)才不再成為孤立的、零散的東西。因為數學(xué)思想能將“游離”狀態(tài)的知識點(diǎn)(塊)凝結成優(yōu)化的知識結構，有了它，數學(xué)概念和命題才能活起來(lái)，做到相互緊扣，相互支持，以組成一個(gè)有機的整體�？梢�(jiàn)，數學(xué)思想是數學(xué)的內在形式，是學(xué)生獲得數學(xué)知識、發(fā)展思維能力的動(dòng)力和工具。教師在教學(xué)中如能抓住數學(xué)思想這一主線(xiàn)，便能高屋建瓴，提挈教材進(jìn)行再創(chuàng )造，才能使教學(xué)見(jiàn)效快，收益大。
(二)數學(xué)思想是我們進(jìn)行教學(xué)設計的指導思想
筆者認為，數學(xué)課堂教學(xué)設計應分三個(gè)層次進(jìn)行，這便是宏觀(guān)設計、微觀(guān)設計和情境設計。無(wú)論哪個(gè)層次上的設計，其目的都在于為了讓學(xué)生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數學(xué)活動(dòng)過(guò)程中去。這種設計不能只是數學(xué)認識過(guò)程中的“還原”，一定要有數學(xué)思想的飛躍和創(chuàng )造。這就是說(shuō)，一個(gè)好的教學(xué)設計，應當是歷史上數學(xué)思想發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的模擬和簡(jiǎn)縮。例如初中階段的函數概念，便是概括了變量之間關(guān)系的簡(jiǎn)縮，也應當是滲透現代數學(xué)思想、使用現代手段實(shí)現的新的認識過(guò)程。又如高中階段的函數概念，便滲透了集合關(guān)系的思想，還可以是在現實(shí)數學(xué)基礎上的概括和延伸，這就需要搞清楚應概括怎樣的共性，如何準確地提出新問(wèn)題，需要怎樣的新工具和新方法等等。對于這些問(wèn)題，都需要進(jìn)行預測和創(chuàng )造，而要順利地完成這一任務(wù)，必須依靠數學(xué)思想作為指導。有了深刻的數學(xué)思想作指導，才能做出智慧熠爍的創(chuàng )新設計來(lái)，才能引發(fā)起學(xué)生的創(chuàng )造性的思維活動(dòng)來(lái)。這樣的教學(xué)設計，才能適應瞬息萬(wàn)變的技術(shù)革命的要求�？恳回炄绱嗽O計的課堂教學(xué)培養出來(lái)的人才，方能在21世紀的激烈競爭中立于不敗之地。
(三)數學(xué)思想是課堂教學(xué)質(zhì)量的重要保證
數學(xué)思想性高的教學(xué)設計，是高質(zhì)量進(jìn)行教學(xué)的基本保證。在數學(xué)課堂教學(xué)中，教師面對的是幾十個(gè)學(xué)生，這幾十個(gè)智慧的頭腦會(huì )提出各種各樣的問(wèn)題。隨著(zhù)新技術(shù)手段的現代化，學(xué)生知識面的拓寬，他們提出的許多問(wèn)題是教師難以解答的。面對這些活潑肯鉆研的學(xué)生所提的問(wèn)題，教師只有達到一定的思想深度，才能保證準確辨別各種各樣問(wèn)題的癥結，給出中肯的分析；才能恰當適時(shí)地運用類(lèi)比聯(lián)想，給出生動(dòng)的陳述，把抽象的問(wèn)題形象化，復雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化；才能敏銳地發(fā)現學(xué)生的思想火花，找到閃光點(diǎn)并及時(shí)加以提煉升華，鼓勵學(xué)生大膽地進(jìn)行創(chuàng )造，把眾多學(xué)生牢牢地吸引住，并能積極主動(dòng)地參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，真正成為教學(xué)過(guò)程的主體；也才能使有一定思想的教學(xué)設計，真正變成高質(zhì)量的數學(xué)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程。
有人把數學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量理解為學(xué)生思維活動(dòng)的質(zhì)和量，就是學(xué)生知識結構，思維方法形成的清晰程度和他們參與思維活動(dòng)的深度和廣度。我們可以從“新、高、深”三個(gè)方面來(lái)衡量一堂數學(xué)課的教學(xué)效果�！靶隆敝笇W(xué)生的思維活動(dòng)要有新意，“高”指學(xué)生通過(guò)學(xué)習能形成一定高度的數學(xué)思想，“深”則指學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)的程度。 有思想深度的課，能給學(xué)生留下長(cháng)久的思想激動(dòng)和對知識的深刻理解，在以后的學(xué)習和工作中，他們可能把具體的數學(xué)知識忘了，但數學(xué)地思考問(wèn)題的方法將永存。
我們進(jìn)行數學(xué)教學(xué)的根本目的，是通過(guò)數學(xué)知識和觀(guān)念的培養，通過(guò)一些數學(xué)思想的傳授，要讓學(xué)生形成一種“數學(xué)頭腦”，使他們在觀(guān)察問(wèn)題和提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的每一個(gè)過(guò)程中，都帶有鮮明的“數學(xué)色彩”，這樣的數學(xué)一定會(huì )有真正的實(shí)效和長(cháng)效，真正提高人的素質(zhì)。 數學(xué)課堂教學(xué)是教師“主體表演”的過(guò)程，是語(yǔ)言、動(dòng)作、板書(shū)演示、語(yǔ)言交流、情感交流等融于一體的過(guò)程。在這種過(guò)程中，往往既能反映出教師專(zhuān)業(yè)基礎知識的情況，又能反映出教師對教學(xué)理論的掌握情況，同時(shí)還可反映出教師的數學(xué)思想的有關(guān)情況。
實(shí)踐證明，在數學(xué)教學(xué)中，數學(xué)思想、方法已經(jīng)越來(lái)越多地得到人們的重視，特別是在數學(xué)教學(xué)中，如何使學(xué)生較快地理解和掌握數學(xué)思想、方法，更是我們廣大中學(xué)數學(xué)教師所關(guān)心的問(wèn)題。
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