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教學(xué)論文：促進(jìn)小學(xué)生數學(xué)認知理解的策略
【摘要】理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一個(gè)中間目的，而不是最終目的。我們強調理解在數學(xué)教學(xué)與學(xué)習過(guò)程中的核心作用，不是把理解當作教學(xué)最終要實(shí)現的目標去追求，而是把它當作一個(gè)中心環(huán)節去給予充分的關(guān)注，畢竟從某種意義上說(shuō)，沒(méi)有理解就不能有真正意義上的學(xué)習，它是對知識進(jìn)行掌握、應用的前提，也是進(jìn)行后繼學(xué)習的基礎。
【關(guān)鍵詞】數學(xué)理解本質(zhì)剖析自主建構 知識網(wǎng)絡(luò )
在數學(xué)教育界，很多專(zhuān)家和學(xué)者提出：學(xué)生應該要理解數學(xué)。原因何在？因為數學(xué)理解對于學(xué)生的數學(xué)學(xué)習具有非常重要的意義。理解不僅是手段，理解本身也是目的，但它是一個(gè)中間目的，而不是最終目的。顯然，我們要求學(xué)生學(xué)習數學(xué)，是希望學(xué)生在掌握數學(xué)知識的基礎上，能從數學(xué)角度去思考問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)而鍛煉思維、培養情感，最終成為富有創(chuàng )造力的人。所以，我們強調理解在數學(xué)教學(xué)與學(xué)習過(guò)程中的核心作用，不是把理解當作教學(xué)最終要實(shí)現的目標去追求，而是把它當作一個(gè)中心環(huán)節去給予充分的關(guān)注，畢竟從某種意義上說(shuō)，沒(méi)有理解就不能有真正意義上的學(xué)習，它是對知識進(jìn)行掌握、應用的前提，也是進(jìn)行后繼學(xué)習的基礎。
1數學(xué)理解的涵義
關(guān)于數學(xué)理解，著(zhù)名數學(xué)家希爾伯特等認為：“一個(gè)數學(xué)的概念方法或事實(shí)被理解了，那么它就會(huì )成為個(gè)人內部網(wǎng)絡(luò )的一個(gè)部分……理解的程度是由聯(lián)系的數目和強度來(lái)確定的�！蓖豕饷鹘淌趯祵W(xué)認知理解界定為“學(xué)生在已有數學(xué)知識和經(jīng)驗的基礎上，建立新知識的個(gè)人心理表征，不斷完善和發(fā)展頭腦中的知識網(wǎng)絡(luò )，并能將納入知識網(wǎng)絡(luò )中的新知識靈活地加以提取以解決問(wèn)題的思維過(guò)程�！标惌偨淌谡J為：“數學(xué)理解是學(xué)習者先認識數學(xué)對象的外部表征，構建相應的心理表象，然后在建立新舊知識聯(lián)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程中，打破原有的認識平衡，將數學(xué)對象的心理表象進(jìn)行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數學(xué)對象的本質(zhì)特征及規律，從而達到對數學(xué)對象的理�！薄度罩屏x務(wù)教育階段數學(xué)課程標準》實(shí)驗稿將理解解釋為能描述對象的特征和由來(lái)，能明確地闡述此對象與有關(guān)對象之間的區別和聯(lián)系。
以上關(guān)于數學(xué)理解含義的闡述，主要是針對數學(xué)學(xué)習中的理解而言的，它們可以統稱(chēng)為數學(xué)認知理解，本文所探討的數學(xué)理解即是指數學(xué)認知理解。本人認為數學(xué)認知理解是指學(xué)習者聯(lián)系自己已有的知識和經(jīng)驗，通過(guò)數學(xué)學(xué)習活動(dòng)，認識數學(xué)學(xué)習對象的外部表征，并構建相應的心理表象，然后經(jīng)過(guò)思維加工，打破原有的認知平衡，將數學(xué)對象的心理表象重新加以解釋?zhuān)匦陆嬈湟饬x，從而把新的學(xué)習內容納入已有的認知結構，逐步認識數學(xué)對象的本質(zhì)特征和規律的一種思維活動(dòng)。
2促進(jìn)小學(xué)生數學(xué)認知理解的策略
數學(xué)教師要注重學(xué)生的認知理解，但“工欲善其事，必先利其器”，為了促進(jìn)學(xué)生的數學(xué)認知理解，就必須采用有效的教學(xué)策略。
2.1注重提供典型的感性材料，促進(jìn)數學(xué)概念的獲得
在新知教學(xué)中，為使學(xué)生建立起清晰的表象，要借助直觀(guān)手段向學(xué)生提供豐富而典型的感性材料。
例如在教學(xué)《認識周長(cháng)》時(shí)，老師用多媒體演示螞蟻、瓢蟲(chóng)、蟋蟀三種小動(dòng)物在樹(shù)葉上的鍛煉情景（螞蟻、瓢蟲(chóng)沿著(zhù)樹(shù)葉邊線(xiàn)運動(dòng)，蟋蟀沿著(zhù)樹(shù)葉中間的莖運動(dòng)；其中瓢蟲(chóng)跑完一周，而螞蟻沒(méi)有跑完一周）。然后引導學(xué)生“邊欣賞邊觀(guān)察這些小動(dòng)物的運動(dòng)路線(xiàn)有什么不同”，并對小動(dòng)物運動(dòng)的路線(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)，周長(cháng)概念的引入便自然和諧。在這樣有典型具體材料做支撐點(diǎn)的學(xué)習中，學(xué)生們學(xué)習熱情高漲，勁頭十足，對周長(cháng)概念的印象非常深刻。
2.2注重聯(lián)系具體的生活原形，促進(jìn)數學(xué)概念的形成
一位教育學(xué)家說(shuō)過(guò)：“任何數學(xué)概念都可以在現實(shí)生活找到它的原型，這樣看來(lái)，豐富多彩的現實(shí)世界應當是學(xué)生學(xué)習數學(xué)的背景�！闭n堂教學(xué)要從學(xué)生喜聞樂(lè )見(jiàn)的生活情境出發(fā)，使抽象的數學(xué)學(xué)習變得具體形象起來(lái)，把原來(lái)枯燥的數學(xué)變的生動(dòng)起來(lái)，這樣學(xué)習學(xué)生就不會(huì )感到抽象，而且容易形成生動(dòng)活潑的學(xué)習氣氛。
例如，平行線(xiàn)概念的教學(xué)，讓學(xué)生辨認一些熟悉的實(shí)例，像操場(chǎng)跑道直道、窗框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣、五線(xiàn)譜譜線(xiàn)等，喚起筆直的直跑道線(xiàn)、窗框的上下兩條邊等學(xué)生熟悉的事物的表象。然后設問(wèn)：如果把這兩條跑道線(xiàn)都向兩端無(wú)限延長(cháng)，它們會(huì )相交嗎？這兩條窗框的上下兩條邊、兩根譜線(xiàn)呢？通過(guò)比較可以發(fā)現，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線(xiàn)；兩條直線(xiàn)在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)等，最后抽象出本質(zhì)屬性，得到平行線(xiàn)的定義。這樣引入，使學(xué)生已有的生活經(jīng)驗成為學(xué)習新知的基礎，并借助于想象活動(dòng)，較好地解決學(xué)生因抽象思維能力較低而造成的學(xué)習障礙。
2.3注重數學(xué)知識本質(zhì)的剖析，促進(jìn)數學(xué)知識的真正理解
數學(xué)知識在其形成過(guò)程中，往往附帶著(zhù)許多無(wú)關(guān)特征。因此教學(xué)中應抓住重點(diǎn)，引導學(xué)生剖析關(guān)鍵詞語(yǔ)的真實(shí)含義，從而把握知識的實(shí)質(zhì)，盡量減少不利因素的干擾。例如教學(xué)《認識周長(cháng)》時(shí)，學(xué)生只有對周長(cháng)概念中的“邊線(xiàn)”、”一周”、”長(cháng)度”等關(guān)鍵詞語(yǔ)的真實(shí)含義弄清了，才會(huì )對周長(cháng)這個(gè)概念有深刻的理解。
如何在教學(xué)中剖析數學(xué)知識的本質(zhì)呢？一是狠抓關(guān)鍵詞。小學(xué)數學(xué)中很多數學(xué)概念往往是由若干個(gè)詞或詞組組成的定義。這些數學(xué)語(yǔ)言表述精確，結構嚴謹，對這一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性作了明確的闡述。在教學(xué)時(shí)就要緊緊“抓”住這些本質(zhì)的東西不放，讓學(xué)生建立起正確的概念。如平行線(xiàn)的定義是“同一平面內不相交的兩條直線(xiàn)”，在學(xué)習這一概念時(shí)，就應抓住“同一平面內”、“不相交”和“兩條直線(xiàn)”這幾個(gè)關(guān)鍵詞不放，引導學(xué)生想一想，如果概念中的關(guān)鍵詞去掉一個(gè)后，會(huì )發(fā)生什么變化。如平行線(xiàn)的定義中去掉“在同一平面內”，學(xué)生便發(fā)現會(huì )產(chǎn)生圖1的情形；去掉“不相交”就會(huì )產(chǎn)生圖2的情形；去掉“兩條直線(xiàn)”中的“直”字，就會(huì )產(chǎn)生圖3的情形，
顯然，這些都不是平行線(xiàn)。從而讓學(xué)生明確成為平行線(xiàn)的三個(gè)基本要點(diǎn)，加深對平行線(xiàn)意義的理解。二是巧用變式。就是不斷地變換所提供的事例或材料的呈現形式，改變非本質(zhì)屬性，使學(xué)生透過(guò)現象看本質(zhì)，使概念的本質(zhì)屬性更加突出，達到化難為易的效果，由此幫助學(xué)生準確形成概念。如在三角形的高概念教學(xué)中，通過(guò)不同形態(tài)（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）、不同位置的三角形的底和高進(jìn)行比較，就可以幫助學(xué)生分清哪些屬于三角形高的本質(zhì)屬性，從而準確地理解三角形高的概念。三是加強對比辨析。加強對比辨析、舉反例等進(jìn)行概念教學(xué)是行之有效的方法。例如在教學(xué)“二分之一”這個(gè)概念時(shí)，出示大小不同的一個(gè)圓形和一個(gè)長(cháng)方形，要求學(xué)生分別用涂色部分表示它的二分之一。教師接著(zhù)提問(wèn)：“涂色部分的大小、形狀都不一樣，為什么都用“二分之一”這個(gè)數表示？”學(xué)生通過(guò)比較辨析的方法深化了這個(gè)概念。學(xué)生說(shuō)：“陰影部分都表示這個(gè)圖形的一半，所以用二分之一表示�！� 又如教學(xué)射線(xiàn)、直線(xiàn)這兩個(gè)概念后，老師提問(wèn)：“小胡同學(xué)認為，在一條直線(xiàn)上任意點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，就得到了兩條射線(xiàn)，因此，直線(xiàn)比射線(xiàn)長(cháng)�！蹦阃馑挠^(guān)點(diǎn)嗎？通過(guò)辨析，同學(xué)們清晰地認識到直線(xiàn)和射線(xiàn)都是無(wú)限長(cháng)的，他們之間是不能比長(cháng)短的。設計對比辨析，泛化現象就不會(huì )發(fā)生，同時(shí)概念也得到進(jìn)一步深化。
新課程的數學(xué)教材，在注重數學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，對一些概念的定義、法則等適當地作了淡化處理。但這并不是不重視概念的教學(xué)了，而是為了使學(xué)生更好地領(lǐng)悟概念，真正理解概念，體會(huì )數學(xué)的本質(zhì)。從這個(gè)意義上說(shuō)，適當的“淡化”是為了真正的“強化”。
2.4注重經(jīng)歷新知的形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生自主建構知識
學(xué)習是學(xué)生主動(dòng)建構知識的過(guò)程，學(xué)生不是簡(jiǎn)單被動(dòng)地接受信息，而是對外部信息進(jìn)行主動(dòng)選擇、加工和處理，從而獲得知識的意義。小學(xué)數學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節就是給學(xué)生足夠的、充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)新知的形成過(guò)程。同時(shí)學(xué)習的過(guò)程是自我生成的過(guò)程，這種生成是他人無(wú)法取代的，是由內向外的生長(cháng)，而不是由外向內的灌輸，教師的任務(wù)主要是在師生、生生的互動(dòng)中幫助學(xué)生自己建構知識，而不是把前人的知識宣講給學(xué)生。有一種說(shuō)法：一個(gè)好的教師應該是一個(gè)建材超市的經(jīng)理，為學(xué)生提供各種建筑材料，然后讓學(xué)生自己動(dòng)手去建造自己的房屋。而不是一個(gè)房地產(chǎn)的經(jīng)紀人，把蓋好的房子賣(mài)（教）給學(xué)生。因此在教學(xué)中要著(zhù)重引導學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、操作實(shí)踐、猜測、判斷、歸納、類(lèi)比、交流等數學(xué)活動(dòng)，充分體現出概念本質(zhì)特征的形成過(guò)程，體驗概念“再創(chuàng )造”的過(guò)程。
如循環(huán)小數的認識，首先，通過(guò)大自然中日出日落、春夏秋冬四季輪換等現象感悟“依次不斷”、“重復出現”等“循環(huán)”的特征，然后讓學(xué)生進(jìn)行10÷3和58.6÷11的計算。當學(xué)生怎樣計算都除不完而產(chǎn)生疑問(wèn)時(shí)，再引導學(xué)生觀(guān)察每次除得的商和余數，并讓學(xué)生思考：當余數重復出現時(shí)，商會(huì )怎樣變化呢？隨后，通過(guò)交流研討，從而自主建構循環(huán)小數的意義。
2.5注重知識的靈活運用，促進(jìn)對數學(xué)知識深層次的理解
數學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立后，要抓住時(shí)機，及時(shí)地多角度多層次地進(jìn)行練習。練習的針對性要強，覆蓋面要廣，要涉及到概念所有的外延。
如在認識平行線(xiàn)概念后，可讓學(xué)生舉例說(shuō)說(shuō)生活中哪些物體表面有平行線(xiàn)，這類(lèi)練習既加深了學(xué)生對平行線(xiàn)的認識，又能令所學(xué)知識運用到生活實(shí)際中，拓寬學(xué)生的視野，加強學(xué)生對所學(xué)知識的實(shí)際運用能力；還可以安排判斷練習，下面圖形中，哪些是平行線(xiàn)？哪些不是平行線(xiàn)？為什么？學(xué)生不難找出哪個(gè)是哪個(gè)不是，但關(guān)鍵是要學(xué)生說(shuō)清楚“為什么”，這是學(xué)生對平行線(xiàn)概念的再認識，能加深理解和鞏固記憶；再可安排找平行線(xiàn)活動(dòng)，出示長(cháng)方體模型，讓學(xué)生找一找哪些是平行線(xiàn)？當學(xué)生指出長(cháng)方體相對兩個(gè)面的對角線(xiàn)是平行線(xiàn)時(shí)，引導學(xué)生討論，同不同意這觀(guān)點(diǎn)，學(xué)生爭辯的焦點(diǎn)是這兩條直線(xiàn)在不在同一平面內，這時(shí)，教師借助多媒體演示，使大家清楚地看到這兩條直線(xiàn)在新創(chuàng )設的同一個(gè)斜面內，完全符合平行線(xiàn)的定義，在問(wèn)題到圓滿(mǎn)解決的同時(shí)，學(xué)生對平行線(xiàn)的定義就有了進(jìn)一步的認識。
“理解是一種運用所學(xué)知識靈活地思考與行動(dòng)的能力……也是一種與機械背誦與固守答案相反地實(shí)踐能力�！保╓iske 1977）為此，教學(xué)中除了要重視加強數學(xué)知識的一般應用外，尤其要加強知識在新環(huán)境中的運用，如學(xué)習了長(cháng)、正方形的周長(cháng)后，可以讓學(xué)生計算若干個(gè)小正方形拼成的長(cháng)方形的周長(cháng)，以提高使學(xué)生初步學(xué)會(huì )運用所學(xué)的數學(xué)知識解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題能力，進(jìn)而能夠在實(shí)踐中主動(dòng)體驗教學(xué)的價(jià)值與魅力。
2.6促進(jìn)數學(xué)知識的系統化，建立良好的知識網(wǎng)絡(luò )結構
建構主義學(xué)習觀(guān)一再強調：“要對知識形成深刻的、真正的理解，這意味著(zhù)學(xué)習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零碎的、只言片語(yǔ)的。教學(xué)到了一定階段，要讓學(xué)生找出知識間的縱向與橫向聯(lián)系，組成知識系統，穿線(xiàn)結網(wǎng)，轉化成學(xué)生頭腦中的認知結構，這種系統的認知結構不僅有利于知識的鞏固、深化，也有利于知識的檢索、提取和運用，促進(jìn)學(xué)生知識的遷移，發(fā)展學(xué)生的數學(xué)能力。
例如， 在學(xué)生掌握了三角形、梯形等面積公式的推導以后，教師提出既然梯形的面積公式可以從多種圖形的面積公式推導而來(lái)，那么梯形面積公式與這些圖形面積公式之間有什么聯(lián)系呢？教師運用電子白板演示：1.將梯形上底一個(gè)端點(diǎn)向右一側平著(zhù)拉伸，使之成為一個(gè)平行四邊形，這時(shí)上底與下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四邊形面積計算公式了；2.將梯形下底兩個(gè)端點(diǎn)向中間縮，使之成為一個(gè)長(cháng)方形，這時(shí)梯形的上、下底就變成了長(cháng)方形的長(cháng)，高變成了寬，（上底+下底）×高÷2=（長(cháng)+長(cháng)）×寬÷2=長(cháng)×寬，即得到了長(cháng)方形的面積計算公式；3.將梯形上底逐漸縮短，最后縮成一個(gè)點(diǎn)，即上底為0，這時(shí)梯形面積就轉化成了三角形的面積公式。使學(xué)生很直觀(guān)地了解這些計算公式之間的內在聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體把握知識結構，從而加深對數學(xué)的理解。
總之，數學(xué)認知理解是數學(xué)學(xué)習的關(guān)鍵，教師要善于創(chuàng )設寬松的學(xué)習環(huán)境，提供豐富的學(xué)習材料，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與數學(xué)活動(dòng)，引導學(xué)生經(jīng)歷知識的“再創(chuàng )造”過(guò)程，引導學(xué)生自主建構自己的知識體系，并靈活應用知識，形成對數學(xué)知識的深刻理解，不斷提高數數學(xué)素養。
【參考文獻】
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�。�2］《數學(xué)方法論入門(mén)》 浙江教育出版社 2006年版
�。�3］《為深層次理解而教》《江蘇教育》2008.12
�。�4］《數學(xué)理解之面面觀(guān)》華東師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所博士生
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