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重視數學(xué)思想的教學(xué)讓學(xué)生終身受益論文
《數學(xué)課程標準》（實(shí)驗稿）指出，在數學(xué)教學(xué)中，教師應讓學(xué)生獲得必要的數學(xué)基礎知識和基本技能，理解基本的數學(xué)概念、數學(xué)結論的本質(zhì)，了解概念、結論等產(chǎn)生的背景、應用，體會(huì )其中所蘊含的數學(xué)思想和方法，以及它們在后續學(xué)習中的作用。數學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法，運用數學(xué)思想的目的是為了完成促使新知在已有知識基礎上達到某種發(fā)展或重組，從而達到由未知向已知的轉化。因此，筆者認為，數學(xué)教學(xué)中最基本、最重要的數學(xué)思想應是化歸思想。
一、化歸思想及其中數學(xué)教學(xué)中的意義
所謂化歸，就是轉化。而它較之轉化又具有較強的性和方向性，是用聯(lián)系、運動(dòng)、發(fā)展變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待問(wèn)題，把未解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉化歸結為已經(jīng)解決或易于解決的問(wèn)題。從本質(zhì)上說(shuō)，就是對問(wèn)題進(jìn)行變形，促使矛盾轉化。數學(xué)問(wèn)題的解決都可歸結為化歸思想的應用，化歸就是解決問(wèn)題�；瘡碗s為簡(jiǎn)單，化陌生為熟悉，化抽象為具體，化無(wú)限為有限……就是化歸思想的具體體現。無(wú)論從數學(xué)課程內容的展開(kāi)，還是數學(xué)問(wèn)題的編擬，都為化歸思想的培養提供了豐富的材料，學(xué)生新知識的學(xué)習無(wú)不化歸到已有知識基礎上來(lái)獲得。因此，我們必須認識到學(xué)生在校學(xué)習期間形成了化歸思想，就為他們的終身學(xué)習打下了良好的基礎。而化歸思想并不是教給學(xué)生一個(gè)模式就能解決問(wèn)題，而是需要通過(guò)不斷的滲透和長(cháng)期的培養訓練才能逐漸形成的。
中學(xué)數學(xué)教材中的化歸思想無(wú)處不在，且貫穿于教學(xué)的全過(guò)程中。如空間中的線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行之間的相互轉化關(guān)系；三角函數中的化多角形式單角形式、化未知角為已知角、化多種函數名稱(chēng)為一種函數名稱(chēng)、化高次為低次、化特殊為一般；等等。數學(xué)思想，如影隨形。筆者認為，必須充分利用教材提供的豐富材料，使學(xué)生逐步形成運用化歸思想探索和解決問(wèn)題的意識，樹(shù)立知難而進(jìn)、化難為易的數學(xué)精神。
例1：已知：tan a=1/2。tan（a—b）=—2/5，求tan（b—2a）的值。
出示題目后，學(xué)生按正切的兩角差公式展開(kāi)，因為tan b和tan 2a都未知，所以計算無(wú)法進(jìn)行下去，此時(shí)，筆者引導學(xué)生分析已知角與所求角之間的關(guān)系，學(xué)生發(fā)現b—2a=（b—a）—a，將b—2a轉化為（b—a）—a，視（b—a）為一整體即可求得tan（b—2a）的值。
解：因為tan（a—b）=—2/5，故tan（b—a）=2/5，故tan（b—2a）=tan[（b—a）—a]=[tan（b—a）—tan a]/[1+tan（b—a）tan a]=—1/12。
在中學(xué)數學(xué)中，化歸不僅是一種重要的解題思路，更是一種重要的思維策略。除了前面所述的轉化外，還有數與形的轉化，整體與局部的轉化、常量與變量的轉化、相等與不等的轉化、函數與方程的轉化，正與反的轉化、動(dòng)與靜的轉化，等等。
例2：當m為何值時(shí)，直線(xiàn)mx+y—3m+1=0不通過(guò)第一象限？
“不通過(guò)”的反面是“通過(guò)”，由于當直線(xiàn)的斜率為正或縱截距為正時(shí)，直線(xiàn)總是通過(guò)第一象限。因此，本題可引導學(xué)生由正面轉化到反面后再進(jìn)行解決。
解：直線(xiàn)mx+y—3m+1=0可化為y=—mx+3m—1，當—m>0或3m—1>0，即m<0或m>1/3時(shí)，該直線(xiàn)通過(guò)第一象限，故當0≤m≤1/3時(shí)，直線(xiàn)不通過(guò)第一象限。
二、化歸思想下的數學(xué)問(wèn)題解決策略
學(xué)生通過(guò)數學(xué)學(xué)習掌握了基本的數學(xué)知識，并逐步形成了基本的數學(xué)思維模式和解決問(wèn)題的基本策略，再以這些知識、模式、策略為基礎解決數學(xué)問(wèn)題，從而就豐富和擴展了原有的模式系列，并在新的層次上進(jìn)一步深入學(xué)習和進(jìn)行新的問(wèn)題的解決。為此，在數學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生的化歸意識得到潛移默化的提高，更重要的是要讓學(xué)生在問(wèn)題解決中掌握運用化歸思想解決問(wèn)題的策略。
策略1、模式建立——模式識別——化舊為新
模式建立是指把已經(jīng)解決了的問(wèn)題在頭腦中形成新的認知結構，模式識別就是把要解決的問(wèn)題比照以前已經(jīng)解決的問(wèn)題，設法將新問(wèn)題的分析研究納入到已有的認知結構或模式中來(lái)，把陌生的問(wèn)題通過(guò)適當的變更轉化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決。這一解題策略體現了化歸的思想，即這種解題策略的目的是為了達到化生為熟、化舊為新。如在高中的立體幾何的空間距離（點(diǎn)到平面的距離、直線(xiàn)與平面的距離、兩平行平面的距離）的計算中，點(diǎn)到平面的距離是“基本模式”，直線(xiàn)與平面的距離、兩平行平面的距離最終都必須轉化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)解決。有了這種基本模式，化歸就有了目標和方法。
策略2、數形結合——取長(cháng)補短——化難為易
數形結合是一種重要的數學(xué)思想，其本質(zhì)還是化歸思想，這種思想就是把問(wèn)題的數量關(guān)系和空間形式結合起來(lái)，根據解決問(wèn)題的需要，把數量關(guān)系問(wèn)題轉化為圖形性質(zhì)問(wèn)題來(lái)討論，或把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉化為數量關(guān)系問(wèn)題來(lái)研究。簡(jiǎn)言之，就是“數形相互取長(cháng)補短”。在中學(xué)數學(xué)教學(xué)中，常常采用數形結合的方法使學(xué)生加深對知識和方法的理解，開(kāi)拓思路，把問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯。
例3求函數y= + 最小值。
引導學(xué)生由已知信息聯(lián)想平面上兩點(diǎn)間的距離公式，作變化y= + = + ，則問(wèn)題轉化為在x軸上找一點(diǎn)p（x，0），使它到兩個(gè)定點(diǎn)A（—2，2），B（0，2）的距離之和為最小。由幾何方法可求得當x=—1時(shí)，ymin=2 。
本題通過(guò)對函數表達式進(jìn)行恒等變形，使其所表示的幾何意義——兩點(diǎn)間距離——顯現了出來(lái)，從而使問(wèn)題得以解決。
“數”可準確澄清“形”的模糊，“形”能直觀(guān)啟迪“數”的計算。數形結合，取長(cháng)補短，運用數形結合策略解決問(wèn)題，既可溝通知識間的內在聯(lián)系，又能拓寬思維領(lǐng)域，優(yōu)化思維品質(zhì)。
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