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高師數學(xué)教學(xué)論滲透數學(xué)史教學(xué)的探索論文
摘 要：本文就數學(xué)概念、數學(xué)命題等教學(xué)過(guò)程中如何滲透數學(xué)史問(wèn)題進(jìn)行了研究。
關(guān)鍵詞：數學(xué)教學(xué)論；數學(xué)史；教學(xué)
“數學(xué)教學(xué)論”是高等師范院校數學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要必修課。在“數學(xué)教學(xué)論”教學(xué)過(guò)程中，如何有效調動(dòng)學(xué)生學(xué)習和研究的積極性，使教學(xué)的內容、方式和方法貼近基礎數學(xué)教學(xué)改革，歷來(lái)是數學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。從目前基礎數學(xué)教育改革的趨勢來(lái)看，重視科學(xué)精神和人文精神的塑造已成為基礎數學(xué)教育改革的方向。數學(xué)發(fā)展史中積淀的深厚傳統文化和豐富數學(xué)思想方法是深化數學(xué)課堂教學(xué)改革的重要方面，“數學(xué)教學(xué)論”課程要充分反映基礎數學(xué)教育改革的現實(shí)，其有效途徑之一是在教學(xué)中加強與數學(xué)史相關(guān)內容的結合，廣泛吸收國際國內數學(xué)史與數學(xué)教育結合（簡(jiǎn)稱(chēng)HPM）研究的最新成果，恰當運用數學(xué)史案例來(lái)充分展示數學(xué)知識思維過(guò)程和方法，提高學(xué)生有效將數學(xué)知識的科學(xué)形態(tài)轉化為教育形態(tài)的能力。因此，在“數學(xué)教學(xué)論”教學(xué)中，恰當運用數學(xué)史料進(jìn)行教學(xué)具有重要的現實(shí)意義與實(shí)踐價(jià)值。本文就數學(xué)概念、數學(xué)命題和數學(xué)人文等教學(xué)與數學(xué)史結合的理論與實(shí)踐進(jìn)行探討。
一、揭示數學(xué)概念認知過(guò)程與歷史發(fā)展過(guò)程的相似性，使學(xué)生把握概念教學(xué)的心理特征。
概念教學(xué)是“數學(xué)教學(xué)論”研究的重要內容。心理學(xué)研究表明，學(xué)生獲得概念的方式主要是概念形成或概念同化。由于中學(xué)生的認知結構處于發(fā)展過(guò)程之中，數學(xué)認知結構中的數學(xué)知識相對簡(jiǎn)單而具體，在學(xué)習新知識時(shí)，作為固著(zhù)點(diǎn)的已有知識往往很少或者不具備，這時(shí)只能借助生活經(jīng)驗及日常概念接納概念，采取概念形成方式來(lái)學(xué)習。我們知道，每一數學(xué)概念在形成發(fā)展過(guò)程中都充滿(mǎn)了直觀(guān)的方法和大量辨證的思維，深刻揭示了某一類(lèi)客觀(guān)對象或事物的共同本質(zhì)和特征，是人們從感性到理性認識事物的真實(shí)寫(xiě)照，給學(xué)生用概念形成方式接納概念提供了豐富的資源，概念教學(xué)中運用數學(xué)史上概念發(fā)展的案例，既可以順應人類(lèi)知識的形成過(guò)程又能適應學(xué)生的認知規律。高師學(xué)生在開(kāi)始接觸概念教學(xué)時(shí)，由于對概念教學(xué)知之甚少，對概念的來(lái)龍去脈難以理清。因此在“數學(xué)教學(xué)論”關(guān)于概念教學(xué)研究中首先要讓學(xué)生認知數學(xué)概念的歷史發(fā)生原理，即通過(guò)一些概念的歷史形成使學(xué)生認識到，個(gè)體對數學(xué)概念的認知發(fā)展過(guò)程與該概念的歷史發(fā)展過(guò)程相似的規律。譬如說(shuō)，學(xué)習代數的主要障礙在于理解和使用數學(xué)符號的意義，而數學(xué)符號緩慢的演變過(guò)程又告訴我們，數學(xué)符號的形成過(guò)程與人們的認知過(guò)程是相似的。因此，代數課程在有關(guān)數學(xué)符號的教學(xué)環(huán)節上應著(zhù)重解析數學(xué)符號的歷史發(fā)展過(guò)程。再如，J.M.Keiser在對六年級學(xué)生對角概念的理解與角概念的歷史對比研究中，得到了“學(xué)生對角概念的理解與角概念的歷史是相似的”結論。從歷史上看，古希臘人從兩邊之間的關(guān)系、質(zhì)（形狀和特征）和量（角的大�。┤矫嬷粊�(lái)定義角，但無(wú)論哪一種定義都未能完善地刻畫(huà)這個(gè)概念。J.M. Keiser通過(guò)對兩個(gè)六年級班級幾何（教材內容為“形狀與圖案”）課堂的觀(guān)察，發(fā)現學(xué)生對角的理解也分成3種情形：
�。�1）強調“質(zhì)”的方面：一些學(xué)生認為，隨著(zhù)正多邊形邊數的增加，“角”越來(lái)越��；即形狀越“尖”的“角”越小
�。�2）強調“量”的方面：一些學(xué)生認為，邊越長(cháng)或者邊所界區域越大，角越大：
�。�3）強調“關(guān)系”方面：一些學(xué)生認為角是將一條邊（終邊）旋轉后與始邊之間的一種“關(guān)系”。
又如F.Cajori根據負數的歷史得出結論：“在教代數的時(shí)候，給出負數的圖形是十分重要的。如果我們不用線(xiàn)段、溫度等來(lái)說(shuō)明負數，那么現在的中學(xué)生就會(huì )與早期的代數學(xué)家一樣認為他們是荒謬的東西”；J.P.Ponte通過(guò)對函數歷史的考察獲得啟示：在中學(xué)階段，將函數概念定義為數集之間的對應關(guān)系是合適的；在中學(xué)數學(xué)中必須強調具有函數式的例子，將函數等同于解析式，不應被看作是一個(gè)大錯誤！在引入數學(xué)概念時(shí)以恰當的方式介紹其發(fā)展歷史，有助于中學(xué)生從整體上把握數學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò )，認識到概念演變修正過(guò)程與個(gè)體認知過(guò)程的相似性，對數學(xué)概念形成完整、恰當的認識，領(lǐng)悟數學(xué)思想的本質(zhì)。并在領(lǐng)略數學(xué)家們?yōu)楦拍畹娜照槌墒焖冻龅钠D辛與努力，以及所經(jīng)受的困難與挫折的過(guò)程中體驗人性化的數學(xué)。還有引入“對數”概念時(shí)可介紹J.Napier發(fā)明“對數”的動(dòng)人歷史，使對數成為富有人性化的、而非枯燥無(wú)味的概念。因此，“數學(xué)教學(xué)論”關(guān)于概念教學(xué)的研究讓學(xué)生從歷史的角度深入認識數學(xué)概念的形成與發(fā)展的心理過(guò)程，將有助于今后在教學(xué)中針對中學(xué)生認知的心理特點(diǎn)設計最佳教學(xué)方案，提高概念教學(xué)的質(zhì)量和效益。
二、引導學(xué)生進(jìn)行基于數學(xué)史的數學(xué)命題、公式等數學(xué)結論教學(xué)案例設計，學(xué)會(huì )在教學(xué)中通過(guò)展示數學(xué)知識的
歷史原創(chuàng )暴露數學(xué)思維過(guò)程的方法教學(xué)。
從某種意義上來(lái)說(shuō)，數學(xué)理論的研究過(guò)程就是數學(xué)命題的證明（或證偽）以及以適當的方式將這些被證明的命題組織成理論體系。從數學(xué)活動(dòng)角度來(lái)說(shuō)，這種過(guò)程一般是需要多次反復的，要經(jīng)歷一個(gè)不斷抽象、層層深人的過(guò)程。因此，數學(xué)教學(xué)既要教“結論”，更要教“過(guò)程”。既要重視數學(xué)內容的形式化，又要重視數學(xué)發(fā)現過(guò)程的經(jīng)驗性。而現行中學(xué)數學(xué)教材中許多內容都簡(jiǎn)化了概念和定理的提出過(guò)程，省略了發(fā)展、探索的過(guò)程，而這些概念、定理是如何被發(fā)現的，解決問(wèn)題的方法又是如何構想的，對中學(xué)生來(lái)說(shuō)有一種說(shuō)不出來(lái)的神秘感和疑惑感．所以在數學(xué)教學(xué)論的教學(xué)中必須教育學(xué)生在未來(lái)的教學(xué)中應精心設計、模擬知識形成的原始思維，為學(xué)生創(chuàng )設問(wèn)題情景，交給學(xué)生發(fā)現、創(chuàng )造的方法． 數學(xué)歷史上定理的發(fā)現探索過(guò)程可以啟迪學(xué)生掌握正確的學(xué)習方法，將邏輯推理還原為合情推理，將邏輯演繹追溯到歸納演繹；可以激勵學(xué)生去發(fā)現規律，總結定理，從而極大地滿(mǎn)足學(xué)生發(fā)現與發(fā)明的成就感，傳統數學(xué)教材中缺少對數學(xué)定理形成過(guò)程的闡述與剖析，呈現的是一些完美的結論和嚴謹的推證過(guò)程，這將直接導致學(xué)生對學(xué)習數學(xué)失去主動(dòng)性與創(chuàng )造性。因此，在數學(xué)教學(xué)論關(guān)于定理、公式、法則等內容的教學(xué)中，應適當介紹其歷史上的發(fā)現探索歷程及不同的證明方法，使學(xué)生學(xué)會(huì )在今后的教學(xué)中將數學(xué)家們發(fā)現數學(xué)結論的歷史過(guò)程變成學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗發(fā)現的過(guò)程，從而激發(fā)中學(xué)生的學(xué)習主動(dòng)性與創(chuàng )造性。譬如；從古希臘數學(xué)家阿基米德使用“平衡法”推導球體積公式與我國古代數學(xué)家劉徽和祖沖之父子得到球體積的過(guò)程；歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題思路；牛頓、萊布尼茲等人發(fā)明微積分的過(guò)程的介紹中，都可以將數學(xué)家創(chuàng )造數學(xué)真理的思維過(guò)程活生生的展現在中學(xué)生面前，改變那種從公式到公式、從定理到定理的教學(xué)程式。還有古希臘、中國、印度、歐洲數學(xué)家等中外數學(xué)家在勾股定理的發(fā)現與證明中的幾百種證明方法都深刻反映了數學(xué)結論發(fā)現的火熱過(guò)程，充分暴露了數學(xué)家們發(fā)現數學(xué)結論的思維過(guò)程。在“數學(xué)教學(xué)論”的教學(xué)中教給學(xué)生恰當地設計基于數學(xué)史的教學(xué)案例，將案例程式化為實(shí)驗、操作、發(fā)現結論等過(guò)程不僅將現行教材中數學(xué)結論的冰冷美麗還原為火熱的思考，特別將數學(xué)實(shí)驗引入數學(xué)課堂，使中學(xué)生學(xué)生通過(guò)“猜想——實(shí)驗——再猜想——再實(shí)驗——得出正確的結論——證明”過(guò)程體驗，真正完成一個(gè)完整的知識建構過(guò)程。將是數學(xué)教學(xué)論課程教學(xué)實(shí)現的一個(gè)重要目標。
三、引導學(xué)生探討數學(xué)史與數學(xué)教育結合的內涵，認識數學(xué)歷史問(wèn)題培養中學(xué)生人文精神的重要作用。
“體現數學(xué)的文化價(jià)值”是高中數學(xué)新課程的一個(gè)基本理念，新課程標準強調“數學(xué)文化應盡可能有機地結合高中數學(xué)課程內容，選擇介紹一些對數學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數學(xué)在人類(lèi)社會(huì )進(jìn)步、人類(lèi)文明發(fā)展中的作用”�！皵祵W(xué)教學(xué)論”充分體現新課程的這一理念，對于高師學(xué)生在未來(lái)的教學(xué)中培養中學(xué)生用文化的視野來(lái)看數學(xué)，用數學(xué)的眼光來(lái)看文化的意識或觀(guān)念有著(zhù)深刻的意義。
數學(xué)是幾千年來(lái)全人類(lèi)孜孜探索共同取得的寶貴財富，是各國數學(xué)家相互交流、學(xué)習、共同探索的智慧結晶．不同國度與民族的思維特點(diǎn)、價(jià)值觀(guān)念使數學(xué)呈現出不同的特點(diǎn)．因此“數學(xué)教學(xué)論”在結合數學(xué)史進(jìn)行數學(xué)人文教育中應遵循時(shí)空多元原則，突破時(shí)空局限來(lái)選擇數學(xué)史內容，力求反映不同時(shí)期、不同國度、不同民族和不同文化背景的數學(xué)歷史．譬如，中國古代數學(xué)長(cháng)于計算與構造，諸如“孫子定理”“百雞問(wèn)題”“盈不足術(shù)”等內容具有中華民族傳統文化特色且在國外有一定影響；古希臘數學(xué)長(cháng)于演繹推理與論證，其公理化思想與方法在數學(xué)發(fā)展史上具有極其重要的地位與作用．選材時(shí)應打破封閉格局，將中外數學(xué)歷史納人視野．旨在引導學(xué)生尊重、理解、分享、欣賞多元文化下的數學(xué)，拓寬學(xué)生的視野，培養學(xué)生全方位的認知能力、思考的彈性與開(kāi)放的心靈．
“數學(xué)教學(xué)論”與數學(xué)史結合的教學(xué)中還應使學(xué)生認識到，配合數學(xué)內容與要求所選取的數學(xué)史內容應既能被中學(xué)生理解，又能引起他們的興趣．深奧難懂的數學(xué)史料自然達不到教育的目的，枯燥乏味的數學(xué)史料也同樣起不到教育的作用．所選史料的內容與形式應不拘一格、靈活多樣、題材典型、情節生動(dòng)、發(fā)展曲折、引人人勝．就內容而言，可以是數學(xué)概念。數學(xué)符號、數學(xué)思想方法、歷史著(zhù)名問(wèn)題甚至理論體系的發(fā)展歷史；也可以是數學(xué)家的創(chuàng )新意識、獻身精神、奮斗歷程與獨特個(gè)性；就形式而論，除文字表述史料外，更應突出圖形、圖表與圖象史料．如數學(xué)家（如 Archimedes、I．Newton、L．Euler、C．F．Gauss、祖沖之、華羅庚、陳省身、蘇步青、吳文俊等）的頭像、數學(xué)圖案（如勾股定理、L．Eler公式、C．F．Gauss復平面、黃金矩形、雪花曲線(xiàn)）、數學(xué)家的墓志銘（如 Diophantus的年齡問(wèn)題）和墓碑圖案（如Archimedes的圓柱球、J．Bernoulli的對數螺線(xiàn)、C．F．Gauss墓前塑像座上的正十七邊形）．旨在幫助中學(xué)生學(xué)習數學(xué)，激發(fā)其學(xué)習熱情，展現科學(xué)與人文精神。在數學(xué)問(wèn)題配置與求解中可選擇歷史上不同時(shí)期、不同文化的一些著(zhù)名數學(xué)問(wèn)題，這此問(wèn)題及其求解提供了相應數學(xué)內容的現實(shí)背景，揭示了實(shí)質(zhì)性的數學(xué)思想方法，蘊涵了數學(xué)家為之奮斗的曲折歷程與苦樂(lè )體驗，展現了廣闊而生動(dòng)的人文背景。譬如，可選擇幾何《原本》、《九章算術(shù)》等經(jīng)典名著(zhù)中的問(wèn)題；介紹我國趙爽、印度人、阿拉伯人和F.vieta在求方程的根這一問(wèn)題上的成就；在求解冪和問(wèn)題時(shí)可介紹C.F.Causs的方法、源于S.Pythagoras的形數方法和楊輝的“垛積術(shù)”與“補差術(shù)”方法.在問(wèn)題求解中應側重對歷史上所用各種數學(xué)思想方法進(jìn)行比較分析，使學(xué)生了解不同文化背景中的數學(xué)思考方式，啟發(fā)其數學(xué)思維，提升其數學(xué)欣賞能力，在社會(huì )歷史文化與數學(xué)思維的雙重熏陶下，獲得數學(xué)認知活動(dòng)的文化意義，在數學(xué)教育中實(shí)踐多元文化關(guān)懷的理想。
四、結語(yǔ)
數學(xué)史融入數學(xué)教育的有效性歸根到底要經(jīng)過(guò)課堂實(shí)踐。高師“數學(xué)教學(xué)論”滲透數學(xué)史進(jìn)行教學(xué)一方面可以促進(jìn)數學(xué)教學(xué)論課堂內容和教學(xué)方式、方法的改革，另一方面可以增強高師學(xué)生進(jìn)行中學(xué)數學(xué)教學(xué)與研究的能力，從而提高學(xué)生的從師素質(zhì)。
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